Une croissance exponentielle !

Samedi 5 Avril 2014
  
Vous avez sans doute utilisé cet aphorisme pour caractériser la croissance très forte d’une population. Mais qu’en est-il de son expression mathématique ?

Une population croit de manière exponentielle si la variation de son effectif se fait selon l’équation :

                               Nt = N0ert

Avec Nt nombre d’individus après t unités de temps, N0 taille initiale de la population (t = 0), e base des logarithmes népériens : constante valant 2,72 environ, r taux intrinsèque d’accroissement naturel de la population. Ceci est bien compliqué si ce n’était que er est une constante que l’on peut remplacer par m et l’équation devient :

                               Nt = N0mt (1)

Il s’agit de connaître, pour la population étudiée, la valeur du paramètre m, pour cela il suffit de faire N0 =1 (population ramenée à un individu) et t =1 alors N1 = 1m1 ce qui est identique à m = N1 ; le paramètre m est donc le nombre d’individus issus du même individu au cours de l’unité de temps.

Donnons un exemple. Imaginons un couple d’oiseaux : un merle et une merlette. Supposons qu’au cours de leur vie que nous limiterons à 5 ans, ils élèvent 4 nichées et que chacune de ces nichées renferme en moyenne 1,5 merlette ; le temps qui s’écoule entre la naissance des parents et du dernier de leurs enfants, ici 5 ans, correspond à l’unité de temps ou temps de génération. Au cours de cette unité de temps la merlette aura donné naissance à 1,5 x 4=6 merlettes donc N1 = 6 et puisque N1 = 1m1 alors m =6. Combien de merlettes (et autant de merles évidemment) seront issues de notre couple après 25 ans ? Dans ce cas t=5 (25:5) m=6, remplaçons ces valeurs dans l’équation (1).
                              
N5 = 1x65= 6x6x6x6x6=7776

Il faudrait ajouter à cette valeur un nombre très proche de mâles ; en outre si la population est au départ de 10 couples d’oiseaux, il faudra encore multiplier ce résultat par 10. On voit ici qu’une population dont la croissance n’a pas de limites peut envahir un territoire en peu de temps.

Autre exemple pris dans les finances cette fois. Vous placez 1000 € dans une banque qui vous servira chaque année un taux d’intérêt de 1,5%. Si vous ajoutez chaque année vos intérêts au capital combien aurez-vous en compte après 5 ans de placement ? Ici l’unité de temps t est l’année ; il est un peu plus délicat de définir m, nous remplaçons la merlette par 1 €. Cet € vous donne après une année 1,5 centième d’€ d’intérêt, et si vous n’aviez placé qu’un € au bout d’un an vous auriez en banque 1,015€, cette valeur correspond à m. Remplaçons ces données dans l’équation (1) :

 N5=1000x(1,015)5 =1000x1,015x1,015x1,015x1,015x1,015=1077,28 €


Ici le résultat est très modeste et il faudra un placement beaucoup plus long ou un intérêt bien plus élevé pour que vous récupériez une somme conséquente. 



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